Por dezenas de anos a distribuição exponencial dos tempos de falha foi usada em Engenharia de Confiabilidade para modelar a vida de componentes e sistemas eletrônicos que supostamente não sofriam efeitos de desgaste. Essa útil distribuição estatística apresenta duas características peculiares:

1. presença de um único parâmetro;
2. ausência de memória.

O único parâmetro utilizado para caracterizar uma distribuição exponencial é a taxa de falhas do item em análise, normalmente denotada pela letra grega  λ. Isso torna esse tipo de distribuição de dados mais simples do que a maioria das distribuições existentes. Já a propriedade de ausência de memória traz consigo implicações curiosas, pois a chance de sobrevivência calculada para uma missão de 1000 horas será a mesma para as 1000 horas subsequentes, desde que o item tenha sobrevivido à primeira jornada.

Quando uma taxa de falhas constante (λ) é atribuída a um componente, sua confiabilidade pode ser determinada em um ponto específico no tempo (t). Nesse caso, a função de densidade de probabilidade da distribuição exponencial, a função de confiabilidade e a taxa de risco (ou de falhas) correspondentes são recordadas nas expressões seguintes:

A média da distribuição exponencial de vida é popularmente conhecida como MTBF (mean time between failures) e é obtida pelo recíproco da taxa de falhas, ou seja, MTBF = 1/λ. O indicador MTBF é, portanto, apenas uma média de uma distribuição, e pode nos levar a interpretações equivocadas sobre a vida do item em análise.

A título de exemplo, suponha que o tempo médio entre falhas (MTBF) de um componente com vida modelada por uma distribuição exponencial seja de 5000 horas. A confiabilidade R(t) desse componente em t = 5000 h será de igual a 0,37, ou seja, a chance de operação sem falhas durante um tempo igual ao MTBF será de apenas 37%, como representado pela área sombreada em verde na figura 1.

Figura 1: Função Densidade de Probabilidade dos tempos até a falha para um dado componente eletrônico.

Apesar da simplicidade dessa abordagem, há algo que incomoda os engenheiros de confiabilidade em relação ao uso amplo da distribuição exponencial: a suposição básica de uma taxa de falhas constante não é planamente suportada na maioria das aplicações do mundo real. A distribuição exponencial modela o comportamento das unidades que falham a uma taxa constante, independentemente do processo de envelhecimento. Embora essa propriedade simplifique bastante a análise, ela torna a distribuição inadequada para muitas avaliações modernas de confiabilidade.

A engenharia de confiabilidade surgiu na década de 1950 como uma disciplina demandada para resolver problemas de confiabilidade em produtos eletrônicos para aplicações militares [1]. Desde então muito trabalho pioneiro foi dedicado a vários tópicos importantes sobre questões de confiabilidade. Um dos principais vieses foi a previsão quantitativa de confiabilidade com base em dados empíricos registrados em vários manuais publicados por militares e pela indústria [2]. Outra tendência da disciplina se concentrou em identificar e modelar as causas físicas das falhas dos componentes, estabelecendo o conceito inicial da Física da Falha (PoF), apresentado em 1962 [3]. No entanto, até a década de 1980, os modelos de taxas de falhas constantes, baseadas nos manuais (por exemplo, a série Military-Handbook-217 [4]), foram aplicados predominantemente para descrever a vida útil dos componentes eletrônicos. Desde a década de 1990, com o aumento da complexidade dos sistemas eletrônicos e, principalmente, a aplicação de circuitos integrados (CIs) de larga escala, mais e mais evidências sugerem que os modelos de taxa de falha constante são inadequados [5]. O manual Military-Handbook-217F foi oficialmente cancelado em 1995 e a abordagem da física da falha começou a ganhar um papel cada vez mais importante na engenharia de confiabilidade.

Inaplicabilidade da suposição de taxa de falha constante
A hipótese de uma taxa de falhas constante implica em modelos matemáticos que podem ser facilmente implementados e explicados, mas nos afastam dos benefícios que podem ser obtidos com a adoção de modelos que representam com mais precisão as condições do mundo real. É possível observar o mundo físico em que vivemos e encontrar evidências irrefutáveis ​​de que a maioria dos componentes reais, senão todos, apresentam taxas de falhas crescentes com o tempo.

Uma análise simples dos dados de mortalidade humana (que podem ser obtidos com a ajuda do Google) ilustra as possibilidades de conclusões errôneas a que podemos chegar assumindo taxas de falhas constantes para entidades do mundo real. Usando softwares como o Windchill Failure Prediction (cuja licença está disponível para pesquisadores do laboratório Tesla - UFMG) podemos analisar os dados de mortalidade humana com uma distribuição exponencial e constatarmos que se nossa taxa de mortalidade (taxa de falhas) fosse constante, uma porcentagem significativa da população (10 A 12%) estaria morta em 10 anos, enquanto outros 12% viveriam bem além dos 200 anos de idade. Alguns poucos sortudos, inclusive, superariam os 350 anos de idade! Esses cálculos discordam evidentemente da nossa percepção de mortalidade humana no mundo real. A Figura 2 demonstra a discrepância. Este gráfico exibe os dados de mortalidade humana analisados ​​com as distribuições exponencial e de Weibull. Veja que a distribuição de Weibull (que utiliza 3 parâmetros) modela melhor o comportamento, enquanto a distribuição exponencial superestima a taxa de falhas inicial e subestima significativamente essa taxa nas fases posteriores da vida.

Figura 2: Diferentes distribuições das taxas de mortalidade humana.

Exemplos semelhantes também são abundantes entre os produtos manufaturados. Se os carros ou motocicletas exibissem uma taxa de falhas constante, nenhum de nós se importaria com a quilometragem ao adquirir um veículo usado, pois essa informação não afetaria a confiabilidade futura do bem. Em outras palavras, se um item qualquer pode se desgastar com o tempo, esse item não tem uma taxa de falhas constante. Infelizmente, a maioria dos componentes do nosso mundo está sujeito a ação de desgaste, até mesmo os componentes eletrônicos ou produtos sem expressão material, como softwares de computador. Componentes eletrônicos importantes como capacitores de filme metalizado ou módulos de potência baseados nas tecnologias do silício ou do carboneto de silício exibem degradação ao longo do tempo. Softwares de computadores também exibem mecanismos de desgaste, um sistema operacional recém instalado tem menor probabilidade de travar do que outro em execução há algum tempo, sugerindo uma taxa de falhas que cresce a cada execução.

Uma medida de confiabilidade frequentemente citada em trabalhos técnicos e científicos é o tempo médio entre falhas (MTBF). Existe muitas vezes um entendimento equivocado de que um produto com um MTBF alto sempre durará mais do que um produto similar com um MTBF menor. Esse, entretanto, não é o caso. Os altos valores encontrados para MTBF também contribuem para aumentar a confusão. Para ilustrar esse mal-entendido, vamos voltar à questão da taxa de mortalidade humana. Quando consideramos pessoas de 25 anos, a taxa de mortalidade correspondente é de cerca de 0,11% ao ano. Isso é equivalente a um MTBF de 900 anos, é claro que nenhum exemplar da nossa geração espera durar tanto tempo.

As afirmações feitas pelos fabricantes de muitos componentes eletrônicos, citando altos números de MTBF, podem sustentar uma expectativa de vida longa, o que é factualmente um erro. Um MTBF de 500 anos parece ótimo, mas 100% dos produtos correspondentes podem falhar em muito menos tempo. Falhas dentro de 10 anos são comuns para inversores utilizados em paineis solares, por exemplo. Isso ocorre porque os mecanismos de desgaste que determinam a vida útil desses produtos não podem ser previstos pelo indicador MTBF obtido segundo a suposição de uma taxa de falhas constante.

Se lembrarmos da conhecida "curva da banheira" chegaremos ao conceito mais simples e popular de confiabilidade.  A curva da banheira é um gráfico que mostra como os produtos passam pela fase chamada "mortalidade infantil", na qual o número de falhas é relativamente alto no início da vida por um determinado período. As coisas se acalmam em seguida por outro período de tempo em que as taxas de falha permanecem baixas. Chamamos esse período de "vida útil". Depois disso, os mecanismos de desgaste entram em ação para aumentar rapidamente a taxa de falhas e a curva volta a subir. O MTBF fornece apenas uma indicação estatística da taxa de falhas que pode ser esperada durante o período de vida útil (base da curva da banheira), mas não diz nada sobre mortalidade infantil ou sobre o envelhecimento causado pelos mecanismos de desgaste.

A maioria das pessoas realmente supõe que se deva comprar um produto que tenha um MTBF de 500 anos em vez de um outro com MTBF de 300 anos. O pressuposto tácito é que o primeiro dure duas vezes mais que o segundo. No entanto, a verdade é que nada sobre esses números diz quanto tempo eles sobreviverão antes de "se desgastarem". O produto com o MTBF de 300 anos poderia durar 30 anos antes que os mecanismos de desgaste o levassem às situações de falha. Por outro lado, o produto com 500 anos de MTBF pode passar por mecanismos de desgaste que limitam sua expectativa de vida a 10 anos ou menos. Se um engenheiro soubesse disso, escolheria claramente o produto com expectativa de vida de 30 anos em vez do produto com expectativa de vida de 10 anos.

Referências:
[1] W. Denson, “The history of reliability prediction,” IEEE Trans. Rel., vol. 47, no. 3, pp. SP321–SP328, Sep. 1998.
[2] M. G. Pecht and F. R. Nash, “Predicting the reliability of electronic equipment,” Proc. IEEE, vol. 82, no. 7, pp. 992–1004, Jul. 1994.
[3] K. Chatterjee, M. Modarres, and J. B. Bernstein, “Fifty years of physics of failure,” J. Rel. Inf. Anal. Center, vol. 20, no. 1, pp. 1–5, Jan. 2012.
[4] Military Handbook: Reliability Prediction of Electronic Equipment, Standard MIL-HDBK-217F, Dec. 1991.
[5] M. White and J. B. Bernstein, Microelectronics Reliability: Physicsof-Failure Based Modeling and Life Evaluation. Pasadena, CA, USA: Jet Propulsion Lab., 2008.